ทฤษฎีดนตรีและคณิตศาสตร์ – การทำความเข้าใจความเชื่อมโยง

ความคิดที่ว่าดนตรีคือคณิตศาสตร์หรืออย่างน้อยก็มีความเป็นคณิตศาสตร์ เป็นสิ่งที่ผมได้เจออยู่บ่อยครั้งในมหาวิทยาลัย
พูดตามตรง แทบทุกสิ่งทุกอย่างสามารถหรือเกี่ยวข้องกับตัวเลขและคณิตศาสตร์ได้ แต่ดนตรีก็มีสิ่งที่น่าสนใจร่วมกับคณิตศาสตร์ คือทั้งคู่ต่างถูกเรียกว่า “ภาษาสากล” ไม่ว่าจะสมควรได้รับสถานะ “สากล” นี้หรือไม่ ก็ยังเป็นเรื่องที่ถกเถียงกันได้ แต่ก็คงมีอะไรบางอย่างที่เชื่อมโยงกันระหว่างดนตรีและคณิตศาสตร์ใช่ไหม?

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีดนตรี (Music theory) สอดคล้องกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ได้ดีมาก ส่วนที่น่าสนใจของทฤษฎีดนตรีที่ทำงานได้ดีกับคณิตศาสตร์มีดังนี้: ทฤษฎีเซ็ต (Set theory), ทฤษฎีสิบสองเสียง (Twelve-tone theory), สเกล (Scales) และการจูนเสียง (Tunings) ดนตรีไม่ได้มาจากคณิตศาสตร์ แต่การบันทึกตัวเลขและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์สามารถใช้บรรยายดนตรีได้อย่างดีเยี่ยม

ในบทความนี้ ผมจะพูดถึงวิธีบางอย่างที่คณิตศาสตร์และการบันทึกตัวเลขถูกนำมาใช้ในทฤษฎีดนตรี มีหนังสือจำนวนมหาศาลที่เขียนเกี่ยวกับแต่ละหัวข้อนี้ ดังนั้นโปรดจำไว้ว่าผมกำลังแค่เกริ่นนำเท่านั้น

การบันทึกตัวเลข

ในกรณีนี้ ผมหมายถึงการใช้ตัวเลขสำหรับวัตถุประสงค์ในการบรรเลงดนตรี ซึ่งหมายถึงดนตรีถูกเขียนออกมาในรูปแบบตัวเลขอย่างน้อยบางส่วน

การบันทึกโน้ตดนตรีแบบ Figured bass

ตัวอย่างแรกมาจากยุคบาโรก (ประมาณปี 1600) ที่เรียกว่า Figured bass หรือ Thoroughbass ระบบการบันทึกโน้ตนี้น่าสนใจเพราะใช้ทั้งการบันทึกบนบรรทัดห้าเส้นแบบปกติและการบันทึกตัวเลขใต้บรรทัด Figured bass ถูกใช้สำหรับส่วนประกอบดนตรีและเป็นที่แพร่หลายจนถึงยุคคลาสสิก แต่ยังมีนักดนตรีอย่าง Arnold Schoenberg ที่ระบุว่าเขาอาจเป็นส่วนหนึ่งของนักดนตรีรุ่นสุดท้ายที่ใช้ Figured bass ซึ่งแสดงให้เห็นว่านี่เป็นรูปแบบการบันทึกโน้ตที่คงอยู่มานาน (ผมเองได้เรียนรู้ Figured bass ในโรงเรียน แต่ไม่เคยต้องเล่นจากมันจริงๆ)

การบันทึกโน้ตดนตรีแบบแท็บ (Tablature)

การบันทึกโน้ตแบบแท็บ (Tablature) เป็นการที่ตัวเลขใช้แทนตำแหน่งของนิ้ว แต่ไม่บ่งบอกคำสั่งในการบรรเลงอื่นๆ เช่น แท็บไม่ระบุจังหวะ (Rhythm) การเล่นเสียง (Articulation) หรือระดับความดังเบา (Dynamics) สไตล์การบันทึกโน้ตแบบนี้ได้รับความนิยมสำหรับคีย์บอร์ดและลูท (Lute) ตั้งแต่ช่วงปี 1400 และยังคงใช้มาจนถึงปัจจุบัน! ถ้าคุณเป็นนักกีตาร์ ก็คงเคยเล่นจากแท็บ (Tab) มาก่อน ผมเองก็เรียนกีตาร์จากการอ่านแท็บ ในหนังสือกีตาร์หลายเล่ม คุณจะพบทั้งแท็บและโน้ตดนตรีมาตรฐานในหน้าเดียวกัน

สเกลดนตรีและการจูนเสียง

สเกลและการจูนเสียงตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงปัจจุบันต่างก็ใช้สัดส่วนและอัตราส่วนในการสร้างชุดของเสียง หลักฐานแรกเริ่มของการจูนเสียงที่เป็นมาตรฐานถูกบันทึกไว้ในคูนิฟอร์ม (Cuneiform) ระบบการเขียนจากราวๆ 3200 ปีก่อนคริสตกาล ในเมโสโปเตเมียและเปอร์เซีย แน่นอนว่าภายในเวลาที่การจูนเสียงสามารถถูกเขียนลงไปได้ นักดนตรีก็น่าจะใช้การวัดพื้นฐานและหลักการทางคณิตศาสตร์เมื่อสร้างการจูนเสียง อย่างไรก็ตาม การจูนเสียงและสเกลส่วนใหญ่เริ่มต้นจากการใช้หูของมนุษย์ ไม่ใช่จากการคำนวณ – หูของพวกเขากำลังทำการคำนวณซึ่งต่อมาจะถูกถอดรหัสเป็นคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ช่วยทำให้การสืบทอดประเพณีดนตรีด้วยการฟัง (Aural tradition) กลายเป็นการบันทึกเป็นลายลักษณ์อักษร ซึ่งสามารถส่งต่อสเกลและการจูนเสียงได้อย่างแม่นยำขึ้นระหว่างเครื่องดนตรี ยุคสมัย และวัฒนธรรมต่างๆ

พีทาโกรัสและโหมด (Pythagoras and Modes)

หนึ่งในเรื่องราวที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดเกี่ยวกับการเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์และดนตรี คือเมื่อพีทาโกรัสกำลังค้นหาสัดส่วนของเสียงฮาร์โมนิกบนสายเดี่ยว เขากำลังศึกษาระดับเสียงที่เกิดขึ้นเมื่อย่อความยาวของสาย พีทาโกรัสเป็นนักคณิตศาสตร์ด้วย (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) ดังนั้นคณิตศาสตร์จึงเป็นส่วนสำคัญของงานของเขา ชาวกรีกได้ถอดรหัสโหมด (Modes) ดนตรีของดนตรีตะวันตก:

Ionian
Dorian
Phrygian
Lydian
Mixolydian
Aeolian
Locrian

แต่ละโหมด (Mode) เป็นการจัดเรียงช่วงห่าง (Interval) ที่แตกต่างกัน ประกอบด้วยเจ็ดโน้ต

การจัดเรียงโหมด (Mode) ของช่วงห่าง (Interval) ถูกอธิบายโดยจำนวนครึ่งเสียง (Half steps) ระหว่างแต่ละโน้ต

โหมด (Mode)	รูปแบบช่วงห่าง (Interval Pattern)
Ionian	2212221
Dorian	2122212
Phrygian	1222122
Lydian	2221221
Mixolydian	2212212
Aeolian	2122122
Locrian	1221222

การจูนเสียงและสเกลเกิดขึ้นจากเส้นทางที่แตกต่างกันไปตามวัฒนธรรมที่คิดค้นระบบเหล่านั้น
วัฒนธรรมดนตรีหลายแห่งอาจไม่สามารถอธิบายระบบของพวกเขาในเชิงคณิตศาสตร์ได้ เพราะพวกเขาไม่ได้คิดถึงมันในแง่นั้นเลย บางทีการจูนเสียงและช่วงห่างที่แม่นยำอาจไม่ใช่สิ่งสำคัญในดนตรีของพวกเขา แต่การบรรเลงให้ได้ตามเจตนาของดนตรีต่างหากที่เป็นสิ่งที่สำคัญที่สุด

การจูนเสียงแบบเทมเพอราเมนต์เท่ากัน 12 เสียง (Twelve-tone equal temperament)

ระบบการจูนเสียงของดนตรีตะวันตกในที่สุดก็มาลงตัวที่การจูนเสียงแบบเทมเพอราเมนต์เท่ากัน 12 เสียง (Twelve-tone equal temperament) Zhu Zaiyu นักคณิตศาสตร์และนักทฤษฎีดนตรีชาวจีนได้พัฒนาระบบนี้ราวปี ค.ศ. 1580 หากคุณดูที่กีตาร์ คุณจะนับได้ 12 เฟร็ต ตั้งแต่สายเปล่าจนถึงอ็อกเทฟ (Octave) การเลื่อนไปแต่ละเฟร็ตเป็นครึ่งเสียง (Half steps) ที่เท่ากัน คณิตศาสตร์มีความสำคัญอย่างยิ่งในการบรรลุการจูนเสียงนี้อย่างแม่นยำ นี่คือสมการ:

${\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\approx 1.059463$

ตลอดประวัติศาสตร์ดนตรี หลายคนได้ทดลองกับการจูนเสียงและสเกล บางคนใช้หูในการฟัง และบางคนพึ่งพาคณิตศาสตร์มากกว่า Harry Partch นักประพันธ์เพลงชาวอเมริกันในศตวรรษที่ 20 ได้สร้างสเกลไมโครโทนัล (Microtonal) หลายรูปแบบ สเกลที่เขาใช้บ่อยที่สุดคือสเกล 43 เสียง (43-tone scale) โดยไม่ต้องลงลึกในรายละเอียดของไมโครโทนัลมากเกินไป Partch ต้องการสำรวจเสียงที่ไม่คุ้นหูสำหรับดนตรีตะวันตก เขาสร้างสเกลของเขาขึ้นจาก 11th limit ซึ่งหมายถึง partial ที่ 11 ในชุดเสียงฮาร์โมนิก (Overtone series) เขาเชื่อว่านี่เป็นก้าวถัดไปที่เป็นธรรมชาติสำหรับดนตรี

การวิเคราะห์และการประพันธ์ดนตรี (Analysis and Composition)

สุดท้ายนี้ มาดูกันว่าคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์และการประพันธ์ดนตรีอย่างไร

ทฤษฎีเซ็ต (Set theory)

ทฤษฎีเซ็ต (Set theory) กำหนดตัวเลขให้กับแต่ละระดับเสียง จากนั้นสามารถทำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้ ด้วยทฤษฎีนี้ คุณสามารถวิเคราะห์ความสัมพันธ์ของช่วงห่าง (Intervallic relationship) และการเปลี่ยนแปลง (Transformations) ที่เกิดขึ้นตลอดทั้งเพลงได้ง่ายขึ้น ซึ่งอาจถูกซ่อนอยู่ในบันทึกโน้ตดนตรีแบบมาตรฐาน

นี่คือตัวอย่างของการย้ายคีย์ (Transposition) โดยใช้การบันทึกโน้ตแบบ Pitch Class:

คอร์ด C major ในการบันทึกโน้ตแบบ Pitch Class คือ 047 สมมติว่าเราต้องการย้ายคีย์ขึ้นไปสี่ครึ่งเสียง (Half steps) เพียงแค่บวก 4 เข้าไปในแต่ละระดับเสียง:

0+4 = 4,
4+4 = 8,
7+4 = 11(E)

คอร์ดใหม่ของเราคือ 48E หรือ EG#B ซึ่งเป็นคอร์ด E major triad

ทฤษฎีเซ็ต (Set theory) ช่วยในการวิเคราะห์ดนตรีทั้งที่มีโทนัล (Tonal) และที่ไม่มีโทนัล (Nontonal) นอกจากนี้ยังสามารถจัดการกับสเกลที่อยู่ในโมดูลัสต่างๆ ได้อีกด้วย ระบบไดอะโทนิก (Diatonic system) อยู่ใน “mod 12” ซึ่งหมายความว่าคุณนับ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 2… แต่คุณก็สามารถมี mod 5 ได้เช่นกัน (1, 2, 3, 4, 1, 2…)

ทฤษฎีเซ็ต (Set theory) ในดนตรีนั้นมีความเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อย่างชัดเจน สมัยที่ผมเรียนปริญญาตรี ผมได้เรียนวิชาคณิตศาสตร์และดนตรีกับอาจารย์ Jack Douthett ผู้เป็นนักคณิตศาสตร์ระดับปริญญาเอก สำหรับนักประพันธ์เพลง ทฤษฎีเซ็ตและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์สามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการประพันธ์ หรือเป็นวิธีในการสร้างสรรค์เนื้อหา – จากทฤษฎีที่อธิบายได้กลายเป็นเครื่องมือในการสร้างผลงาน

การวิเคราะห์ระบบสิบสองเสียง (Twelve-tone analysis)

ดนตรีระบบสิบสองเสียง (Twelve-tone music) มักถูกวิเคราะห์โดยใช้ทฤษฎีเซ็ต (Set theory) แต่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมคือการใช้เซ็ตที่มีลำดับ (Ordered sets) ในดนตรีสิบสองเสียงจะมี “แถวหลัก” (Prime row) ซึ่งเป็นลำดับที่ตายตัวของโน้ตสิบสองเสียงที่เท่ากัน

เมื่อแถวหลัก (Prime row) ถูกระบุได้แล้ว เราสามารถหาว่าแถวถัดไปถูกเปลี่ยนแปลงอย่างไร การเปลี่ยนแปลงทั่วไป (Operators) ในดนตรีระบบสิบสองเสียงมีดังนี้:

การย้ายคีย์ (Transposition)
การเล่นย้อนหลัง (Retrograde)
การสะท้อน (Reflection)
การเติมเต็ม (Complementation)
การคูณ (Multiplication)
การสลับลำดับ (Permutation)

ตัวดำเนินการเหล่านี้ทั้งหมดรักษาความสัมพันธ์เฉพาะกับแถวหลัก (Prime row) จากตัวอย่างข้างต้น สามารถสร้างตารางต่อไปนี้ที่แสดงการเปลี่ยนแปลงหลายอย่างได้ ซึ่งเรียกว่า 12-tone matrix

	I-4	I-7	I-6	I-3	I-9	I-T	I-2	I-0	I-8	I-5	I-1	I-E
P-4	4	7	6	3	9	T	2	0	8	5	1	E	R-4
P-1	1	4	3	0	6	7	E	9	5	2	T	7	R-1
P-2	2	5	4	1	7	8	0	T	6	3	E	8	R-2
P-5	5	8	7	4	T	E	3	1	9	6	2	0	R-5
P-E	E	2	1	T	4	5	9	7	3	0	8	6	R-E
P-T	T	1	0	9	3	4	8	6	2	E	7	5	R-T
P-6	6	9	8	5	E	0	4	2	T	7	3	1	R-6
P-8	8	E	T	7	1	2	6	4	0	9	5	3	R-8
P-0	0	3	2	E	5	6	T	8	4	1	9	7	R-0
P-3	3	6	5	2	8	9	1	E	7	4	0	9	R-3
P-7	7	T	9	6	0	1	5	3	E	8	4	2	R-7
P-9	9	0	E	8	2	3	7	5	1	T	6	4	R-9
	RI-4	RI-7	RI-6	RI-3	RI-9	RI-T	RI-2	RI-0	RI-8	RI-5	RI-1	RI-E

ยังมีอีกหลายอย่างที่ต้องอธิบายเกี่ยวกับตารางนี้ แต่ตอนนี้ขอหยุดไว้เพียงเท่านี้ก่อน

นี่คือตัวอย่างดนตรีระบบสิบสองเสียงจากหนึ่งในนักประพันธ์เพลงที่ผมชื่นชอบในสไตล์นี้ Anton Webern

ในจุดนี้ บางคนอาจถามว่าดนตรีคือคณิตศาสตร์หรือศิลปะ? ดนตรีเป็นศิลปะที่สามารถอธิบายได้ด้วยการใช้ตัวเลขและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ คุณจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์ในการสร้างดนตรีหรือไม่? แน่นอนว่าไม่จำเป็น! แม้แต่นักประพันธ์เพลงที่ใช้ตัวเลขและคณิตศาสตร์ในการสร้างสรรค์และจัดรูปแบบเพลง รวมถึงการใช้ซีเรียลลิซึมอย่างสุดขั้วของ Milton Babbitt ผลงานเหล่านั้นก็ยังคงเป็นศิลปะ เพราะมีเจตนาในการแสดงออกที่เกินกว่าการบันทึกโน้ตบนหน้ากระดาษ

การวิเคราะห์ตัวเลขโรมัน (Roman numeral analysis)

การวิเคราะห์ตัวเลขโรมัน (Roman numeral analysis) เป็นหนึ่งในพื้นฐานสำคัญของการศึกษาทฤษฎีดนตรี การวิเคราะห์นี้เปิดโอกาสให้เราได้เห็นความสัมพันธ์ของฮาร์โมนี (Harmony) โดยการกำหนดตัวเลขให้กับคอร์ด นักทฤษฎีสามารถตรวจสอบองค์ประกอบสำคัญของดนตรีได้ง่ายขึ้น เช่น โครงสร้าง (Form) วลีดนตรี (Phrasing) จังหวะพัก (Cadences) และหน้าที่ของคอร์ด (Function) การวิเคราะห์ประเภทนี้ถูกออกแบบมาเพื่อดนตรีที่มีโทนัล (Tonal music) การนำไปใช้กับดนตรีก่อนโทนัล (Pre-tonal) หรือหลังโทนัล (Post-tonal) จะมีข้อจำกัดในการใช้งาน

แนวคิดสำคัญบางอย่างที่ควรรู้เกี่ยวกับการวิเคราะห์ประเภทนี้คือ คุณต้องทำงานกับบทเพลงที่มีคีย์ (Key) คุณจะต้องรู้จักชื่อของโน้ตในสเกลที่ใช้ด้วย โน้ตแต่ละตัวในสเกลเรียกว่า สเกลดีกรี (Scale degrees) และแต่ละสเกลดีกรีจะมีชื่อตามลำดับ ตัวเลขโรมันจะใช้ตัวพิมพ์ใหญ่สำหรับคอร์ดสามเสียงแบบเมเจอร์ (Major quality triads) และใช้ตัวพิมพ์เล็กสำหรับคอร์ดสามเสียงแบบไมเนอร์ (Minor quality triads)

Scale Degree	Name	Roman Numeral
1	Tonic	I/i
2	Supertonic	II/ii
3	Mediant	III/iii
4	Subdominant	IV/iv
5	Dominant	V/v
6	Submediant	VI/vi
7	Leading tone	VII/vii

การวิเคราะห์ตัวเลขโรมัน (Roman numeral analysis) มักถูกรวมเข้ากับการบันทึกแบบ Figured bass เพื่อแสดงช่วงห่าง (Interval) ที่นับจากโน้ตเบส ซึ่งช่วยให้เห็นรายละเอียดมากขึ้นและตัดผ่านสิ่งที่อาจถูกซ่อนอยู่ในโน้ตบนหน้ากระดาษ ผมจะไม่ลงลึกในรายละเอียดว่าการบันทึกแต่ละอย่างหมายถึงอะไร แต่ประเด็นสำคัญคือการใช้ตัวเลขเพื่อวิเคราะห์และอธิบายดนตรีได้ดีขึ้น

หนึ่งในข้อมูลเชิงลึกที่ทรงพลังที่สุดที่สามารถได้จากการวิเคราะห์นี้คือการทำความเข้าใจหน้าที่ของฮาร์โมนี (Harmony) ในความสัมพันธ์กับทั้งบทเพลง ในดนตรีโทนัล (Tonal music) มีลำดับชั้นของความสำคัญ: โทนิก (Tonic) เป็นสิ่งสำคัญที่สุด รองลงมาคือโดมินันต์ (Dominant) เป็นต้น… Heinrich Schenker (1868–1935) ได้นำแนวคิดนี้ไปถึงขั้นสุด โดยการวิเคราะห์ผลงานขนาดใหญ่ให้เหลือเพียงความสัมพันธ์หลักที่สุด คือความสัมพันธ์ระหว่างโทนิกและโดมินันต์ นี่คือตัวอย่างการวิเคราะห์หนึ่งในงานของเขา ตัวอย่างนี้เป็นการวิเคราะห์ 62 ห้อง (Measures) คุณจะเห็นว่ามีการย่อข้อมูลอย่างมาก ตัวเลขโรมันและตัวเลขด้านบนแสดงโครงสร้างหลักของดนตรี ตัวเลขด้านบนแสดงการลดลำดับสเกล (Scale degree) จาก 3 ไปยัง 1

อย่างที่ผมบอกไว้ตอนต้นของบทความนี้ ผมเพียงแค่เกริ่นนำเท่านั้น ยังมีหนังสือมากมายที่พูดถึงหัวข้อนี้ และแน่นอนว่าผมไม่สามารถอธิบายได้อย่างครบถ้วนที่นี่ หากคุณสนใจเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการวิเคราะห์ประเภทนี้ ผมขอแนะนำหนังสือเหล่านี้หรือคอร์สเรียนนี้

การประพันธ์ดนตรีโดย AI (AI compositions)

สุดท้ายนี้ ผมต้องการรวมดนตรีที่มาจากตัวเลขล้วนๆ นั่นคือการประพันธ์ดนตรีโดยปัญญาประดิษฐ์ (AI compositions) ลักษณะการสร้างสรรค์ผลงานเหล่านี้เกิดขึ้นจากการใช้เลข 0 และ 1 แม้ว่าจะมีการฝึกฝนโปรแกรมและสอนรูปแบบต่างๆ ในดนตรี แต่ AI ก็สามารถสร้างผลงานใหม่และแปลกใหม่ได้ ในความเห็นของผม นี่คือระดับที่ลึกที่สุดของการใช้ตัวเลขและดนตรีที่เกิดขึ้นในปัจจุบัน นี่คือวิดีโอที่สำรวจผลงานบางส่วนที่ประพันธ์โดย AI และมนุษย์ เปรียบเทียบกันแบบเคียงข้างกัน

คณิตศาสตร์และจังหวะ (Math and rhythm)?

ความรู้ของผมในหัวข้อนี้จำกัดอยู่ที่การสำรวจในการประพันธ์ดนตรีเท่านั้น เช่น การสำรวจบันไดเสียง (Time signatures) ที่แสดงออกมาเป็นเศษส่วน (สวัสดีคณิตศาสตร์!) โพลีริธึม (Polyrhythms) และการเปลี่ยนจังหวะ (Metric modulation) น่าเสียดายที่ผมไม่รู้ทฤษฎีเบื้องหลังเทคนิคเหล่านี้ ดังนั้นจึงไม่ได้พูดถึงในข้างต้น ผมไม่ได้รวมคณิตศาสตร์และจังหวะ (Math and rhythm) ไว้เพราะผมไม่คุ้นเคยกับทฤษฎีจังหวะ (Rhythmic theory) ผมรู้ว่ามีงานวิจัยมากมายในด้านนี้ แต่ผมยังต้องศึกษาเพิ่มเติมอีกมาก ดังนั้นขออภัยที่ไม่ได้พูดถึงส่วนสำคัญนี้ของดนตรี ซึ่งเกิดจากความไม่รู้ ไม่ใช่เพราะไม่สนใจ